Мозаика Эшера
После того, как мы разобрались в способах создания периодических и квазипериодических замощений мы можем предположить, каким образом Морис Эшер создавал свои мозаики. Гипотеза: если я познакомлюсь с орнаментальным и геометрическим искусством М. Эшера, а затем изучу принципы построения мозаик художника, то я смогу сделать паркет похожий на его. Мозаики в картинах Эшера. Художник М. К. Эшер известен своими мозаиками и не реальными картинами. В безумно сложных мозаиках Эшера трудно с первого раза заметить, что все они построены строго геометрично и имеют трех-, четырех- или шестинаправленную симметрию, благодаря чему сохраняют свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.
Построение мозаик в стиле Мориса Эшера
Его имя можно встретить и в книгах по информатике. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация».
Заметим еще, на чем основана хитрость картины – белое пятно в центре. Кроме того, что художник использовал нерегулярные мозаики (образующие неповторяющиеся узоры), он много работал с метаморфозами изменяя многоугольники под зооморфные формы, заполняющие поверхность. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии.
Вся плоскость покрыта ромбами. Графика Эшера поражает тем, что в ней нет ничего невозможного. Морис Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher 1898—1972) — нидерландский художник-график. Примером работы, в которой художник изучал такое восприятие – в работе «Три пересекающиеся плоскости», где каждая плоскость, составленная из квадратных плиток, расположенных в шахматном порядке, сокращается в перспективе до точки, три получившиеся точки образуют равносторонний треугольник. На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. Все отличительные особенности периодической работы изложены выше.
Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. XX век ознаменовался целым рядом кардинальных переворотов во многих областях науки. По обе стороны от нее обретает зримую форму то, что ранее существовало лишь в воображении. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. Литографии Рисующие руки (рис. 21) и Рыбы и чешуйки используют эту идею разными способами.
Мауриц Корнелис Эшер: логические парадоксы и иллюзии в рисунках изразцов и мозаике
Регулярные мозаики используются художником для оформления нескольких зданий в Гааге. В них он показывает абсолютно новые отношения между точками, поверхностями и пространством, между причиной и следствием, возникающими в его гравюрах, хотя и странными, но, по-видимому, вполне возможными «мирами». Летние впечатления служат материалом для гравюр, над которыми он работает зимой. Он оставил потомкам 448 литографий и гравюр более 2000 картин и набросков.
Затем, полученная кривая простым поворотом переносится на соседнюю сторону. Попробуем разобраться, как Эшер создавал свои паркеты. Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера.
Первый — периодические работы и второй — квазипериодические. Последний «писк» моды футболки с рисунками орнаментов Эшера.
Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и прочее. Я задалась вопросом, кто автор этих рисунков, какой математик. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения творчеством Эшера. Это — тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями.
Принцип построения сопрягаемых элементов относительно прост. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов можно получить всего из двух. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата. Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. Намечал правильный шестиугольник (известно, что эту фигуру можно использовать при создании периодической мозаики).
Каждая работа Эшера это загадка. Это был куб с полосками. В результате, Эшер так и не получил высшее образование.
Мастер-класс по мозаике: Настенное панно Птицы по картине Мориса Эшера
Рассмотрим на примерах. Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. В каждом треугольнике были изменены боковые ребра таким образом, что в сочетании с измененной стороной шестиугольника (основанием треугольника), они образовывали контур необходимого животного. Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними.
Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация». Эти треугольники можно разрезать на меньшие, так, чтобы каждый из новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Его имя можно встретить и в книгах по информатики. В то время я мало интересовался именами художников, но саму картинку сохранил.
Литография «Картинная галерея», в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Его литографии, гравюры на дереве можно увидеть в кабинетах математиков.
Его работы вовлекают зрителя в противопоставление иллюзии и реальности. На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. Его литографии, гравюры на дереве можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых во всех уголках мира. Парадоксальные реальности, созданные художником, открывают перед зрителями сложность и многозначность окружающего мира, глубину постижения «невозможного».
Следует отметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор U (или V). Одно из простейших замощений можно описать так. В процессе работы художник брал идеи из математических статей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трёхмерных фигур на плоскость, неевклидовой геометрии, «невозможных фигурах», логике трёхмерного пространства. Советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера свыше 20 раз, «Знание-сила» – еще больше. Мауриц Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher (1898- 1972) — нидерландский художник-график.
Эшера». И почему эти картины так и манят к себе, так притягивают. Например, в гравюре 22 явно просматриваются три оси симметрии. С середины прошлого века без его гравюр не обходится ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя.
Но, вероятно именно в этой трудности и кроется движущая пружина моего упорства. Они представляют собой скрытую идею, реализованную в художественной форме. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Эта черта- наличие осей симметрии.
Актуальность. Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. В 1913 году Эшер в школе религии знакомится с парнем, по имени Бас Кист (он пошел туда по стопам родителей, хотя никогда не был особенно религиозен), который станет его лучшим другом. На столе расположены обычные предметы — книги (та, по которой ползёт рептилия — учебник по зоологии), посуда, горшок с цветами, среди них выделяется металлический додекаэдр, на который рептилии поднимаются. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах: «The Studio», «Time» и «Life». Например, гравюры 15, 2, 31, 33 имеют в своей основе ромб. В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры.
Паркеты, мозаика и математический мир Мариуса Эшера
Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными, которые образуют повторяющиеся узоры и нерегулярными (неповторяющиеся узоры), а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет называть его квазипериодическим. Все три созданы между 1958 и 1961 годами. Особенный интерес представляют мозаики Эшера. Эшер восхищался формами правильных и полуправильных тел.
Две другие гравюры Эшера с невозможными фигурами — «Бельведер» и «Спускаясь и поднимаясь». Однако в его творчестве есть целый массив гравюр, названный им «Симметрия». Они, кажется, не подозревают, что математически я совершенно безграмотен». Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы.
С середины прошлого века без его гравюр не обходится ни одна «иллюстрированная» книга по математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях. Между ромбами нет промежутков.
Интерес к мозаикам проявился в 1936 во время путешествия в Испании под влиянием геометрических орнаментов Альгамбры. Художник не только интересовался нерегулярным заполнением плоскости, называя это игрой, он совмещал эксперименты с заполнением плоскости с экспериментами с переходами плоскости в объём и наоборот («Рептилии»). Литография «Рисующие руки» использует эту идею – руки рисуют друг друга, создавая самих себя. Для каждой фигуры существует свой вид симметрии.
Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Это особая точкой, где пространства не существует. Я провел опрос среди 90 учащихся из МБОУ СОШ 24, МБОУ «Лицей 1» и МБОУ «Лицей ИГУ» г. Иркутска: «Интересуетесь ли Вы книгами (журналами) по занимательной математике. ». Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву.
Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. Они еще называются телами Платона. Каждое лето он путешествует по Южной Италии или Испании.
Третий тип картин с нарушенной логикой пространства – это "невозможные фигуры". Многоугольники, как и сферы используются в работах Эшера для создания перспективы. Для этого, на одной из сторон шестиугольника рисуется необходимая кривая. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Узнавание в компонентах реальных объектов играет здесь более важную роль.
Даже его пейзажи – это головоломки с интересным решением. Мы предполагаем, что Эшер при создании этой гравюры делал следующие. После этого он изменял фигуру изнутри. Для каждой гравюры из описанных подклассов существует своя отличительная черта. В честь Эшера назван астероид, открытый в 1940 году. Примером может служить периодическое замощение, придуманное Морисом Эшером («Всадники»). Художник разбивал на шесть равных треугольников.
Появление рисунков Маурица Эшера на изразцах и мозаике
Виртуозное владение графическими техниками позволило ему создавать не только головоломные листы сложнейших орнаментальных замыслов, но одновременно творить такие красивые вещи, как линогравюра «Рябь на воде», где отражения деревьев перебиваются расходящимися от начинающегося дождя кругами. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. В качестве картины, в которой исследуется и логика пространства и его топология, можно назвать литографию «Выставка гравюр». Подобным действие получается две одинаковых кривых, которые затем станут контуром фигуры.
Известнейший ученый Карл Фридрих Гаусс говорил: «Математика – Царица наук». Эти линии в точности повторяют рисунок, который должен получиться при выполнении первых этапов предполагаемого нами способа.
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. Замощение — это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами.
Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Если внутри вырезается некоторый "кусочек" плоскости, то такой же надо добавить снаружи. Он, как и некоторые из его великих предшественников (Микеланджело, Леонардо да Винчи) был левшой. В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». 28 опрошенных учеников ответили утвердительно.
Самое интересное в виде мозаики
Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. А это потому, что в ней чувствуется гармония. Рисунком рептилий собранных в виде мозаики. Яркими представителями этого подкласса являются гравюры 12, 13, 16, 17. Так для меня открылась новая Страна Чудес и я узрел невозможное.
Через какое-то время к ней добавилась обложка из журнала «Знание — сила», на которой цепочка муравьев совершала свой бесконечный путь по знаменитой ленте Мебиуса. Я обратила внимание на белое пятно в центре. С 19 лет Эшер посещает мастерскую художника Герта Стигемана имевшего печатный станок. 1931).
Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. Многоугольники, как и сферы используются в работах Эшера для создания перспективы. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, вот таким образом Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф. imp-art от impossible — невозможный и art — искусство) — самостоятельного направления оп-арта, нацеленное на изображение невозможных фигур, в свою очередь оп-арт (optical art) — художественное течение второй половины XX века использующее различные оптические иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. В начальной школе я придумал сказочную историю про Математику – Царицу наук.
Конкурс «Геометрические мозаики в стиле Маурица Эшера»
Многие его рисунки основаны на математических принципах симметрии или структуры. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Эшер интересовался как регулярными мозаиками, так и нерегулярными.
Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др. ) он получает мировую известность.
Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. Оба интересовались технологией печати. Они, кажется, не подозревают, что математически я совершенно безграмотен».
На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. Радость погружения в невозможное. Но в его работах всегда присутствует нечто большее, чем, скажем, просто симметрия. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор пU--тV (векторы U и V определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m — целые числа).
- Математическое искусство Морица Эшера
- Волшебные картины Мориса Эшера, которыми иллюстрируют учебники кристаллографии
- Исследовательская работа на тему: «Математическое искусство Эшера»
- Описание картины Маурица Эшера «Мозаика»
- Онлайн-архив: оптические иллюзии и невозможные гравюры Маурица Эшера
При подробном рассмотрении и изучении мозаик Эшера можно предположить, что художник пользовался следующим очень интересным, но в то же время простым способом. Пирамиды одновременно выступают и как стены и как полы. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Еще один тип картин с нарушенной логикой пространства – это «невозможные фигуры». Юноша рассматривает пароход изображённый на гравюре, которая идёт влево на ней изображены лодки, канал, дома из одного из окон выглядывает женщина, которая смотрит на крышу галереи, в которой находится юноша.
Слава мало изменила образ жизни художника, который продолжал упорно работать. Кроме того, что художник использовал нерегулярные мозаики (образующие неповторяющиеся узоры), он много работал с метаморфозами изменяя многоугольники под зооморфные формы, заполняющие поверхность. В работе Рыбы и чешуйки (рис. 22) концепция самовоспроизведения представлена более функционально и в данном случае она может быть названа самоподобием. Центр вращения должен лежать в вершине шестиугольника.
- Познавательный ресурс о культуре, науке и искусстве
- Мориц Корнелис Эшер: И тайное станет явным
- Повторение узора (параллельный перенос)
- Паркет на сферической поверхности
В школе учился неважно. При взгляде на любую из «мозаик» мастера у любого человека возникает подозрение на математическую закономерность. Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры» Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах, самой примечательной из которых является, вероятно, литография «Водопад», основанная на невозможном треугольнике (треугольник Пенроуза). Увы, но сам художник никогда не раскрывал секреты своего мастерства.
Для примера рассмотрим мозаику 35См. Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. Этот вид определяется количеством осей симметрии.
- Геометрия в творчестве Мориса Эшера
- Мауриц Эшер – мастер оптических иллюзий
- Самовоспроизведение и информация
- Научные эксперименты в творчестве художника
- Рекомендуемые курсы ПК и ППК для Вас
- Эшер и неевклидово пространство
- Персональный сайт учителя математики Заесенок Веры Павловны
Наиболее полное исследование этого вопроса представлено в книге Дагласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда», выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией. Это было интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. Это показывает важность проведения мероприятий по теме «Занимательная математика». Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. Помимо этого, Эшер работал над заполнением пространства на его взгляд из созданных на эту тему работ идеальной по композиции может считаться третий «Предел круга» (рыбоподобные фигуры уменьшаются при удалении от центра круга, плотно заполняя при этом поверхность подобное уменьшение может быть бесконечным при этом картина демонстрирует один из видов неевклидова пространства, описанный Анри Пуанкаре: теоретически находящийся в этом пространстве человек не будет чувствовать ничего необычного, но не сможет нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединёнными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников).
Одна из рептилий, сидящая на грани додекаэдра, выпускает пар из ноздрей. В XXI веке популярность художника необычно возросла. Эшер интересовался как регулярными мозаиками, так и нерегулярными. Обратное преобразование — склеивание — называется инфляцией.
Серьезные игры». До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др. ) Эшер получает мировую известность.
- Выставка работ в Московском музее современного искусства
- Математическая составляющая в работах Эшера
- Чем заняться в выходные или Амстердам за два дня
Как написал Даглас Хофштадтер в своей книге «каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится во всех других частицах мира». Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.
Математики сразу признали художника «своим» с этого времени его рисунки – неизменный атрибут физико-математических изданий. Существуют и интересные непериодические замощения плоскости. В тоже время гравюры 1, 10, 15, 18 имеют в своей основе параллелограмм. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация».
До начала 50-х годов 20 века он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др. ) он получает мировую известность. Например, в основе паркета «Ящерицы» – правильный шестиугольник. Выпуклость должна соответствовать вогнутости и наоборот. Они еще называются телами Платона.
Эшер для такого построения использовал принцип поворота. Причем идея парадоксальная, заставляющая задумываться о существовании иных миров и измерений. Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше.
Изучив значительную часть работ Мориса Эшера, мы сделали соответствующие выводы о природе его таланта и предположили способ, с помощью которого можно было создавать такие гравюры. Можно увидеть чашки, галстуки, часы и красивые ткани, украшенные паркетами Эшера.
Учебники «Математика 10», «Математика 11» автор в оформлении учебников использованы литографии Эшера. Пример такого замощения можно описать следующим образом. Картины этого голландского художника наглядно иллюстрируют некоторые математические законы, например, мозаичное разбиение плоскости («геометрический паркет») и даже геометрию Лобачевского, основы которой изучают в высших учебных заведениях. Появились и начали стремительно развиваться компьютеры и информационные технологии и «нереальные» картины Эшера стали обретать черты реальности.
Ящерицы маленького размера, но не кажутся безобидными имеют настоящие клыки. Это свойство называется дефляцией. В начале главы были описаны основные отличия квазипериодического замощения от периодического. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.
Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Мориса Эшера нельзя назвать просто художником. Для оставшихся четырех сторон выполняется аналогичное действие. А так же некоторые понятия не входящие в школьный курс математики. По обе стороны от нее обретает зримую форму то, что ранее существовало лишь в воображении.
Однако из биографии художника и его собственных воспоминаний нам известно, что он не мог похвастаться законченным математическим образованием. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Итак, мы увидели, что математический аспект доминирует в работах М. Эшера. На этом станке были отпечатаны первые гравюры Эшера.
Мир оказался сложным и пронизанным одной общей, еще не понятой системой. В этих словах, наверное, есть доля преувеличения. Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением рисования. Фигурные элементы мощения – брусчатые камни. Самовоспроизведение является направленным действием.
Когда я учился в первом классе, мне в руки попал один болгарский журнал. Повторяющиеся элементы, такие как ящерицы, могут стать основой многих изделий. Начало и конец кривой должны лежать в вершинах фигуры. Как – то раз, взяв учебник 10-11 класса «Геометрия», я обратила внимание на рисунок, размещенный на обложке. Но, вероятно именно в этой трудности и кроется движущая пружина моего упорства».
Невозможное – с точки зрения знаний о мире, которыми на тот момент обладало человечество. Многоугольники, как и сферы используются в работах Эшера для создания перспективы. Приложение, симметрия.
Последний «писк» моды футболки с рисунками орнаментов Эшера. В работах «Порядок и хаос» и «Звёзды» художник использует негеометрические формы для усиления впечатления от правильности центральных фигур: в первой из упомянутых работ в символе порядка и красоты отражается хаотическое собрание ненужных, сломанных, разбитых предметов, а во второй в конструкции из трёх правильных полых октаэдров живут два хамелеона. Многоугольники, как и сферы используются в работах Эшера для создания перспективы. Умер он 27 марта 1971 года.
Художник не только интересовался нерегулярным заполнением плоскости, называя это игрой, он совмещал эксперименты с заполнением плоскости с экспериментами с переходами плоскости в объём и наоборот («Рептилии»). Треугольники Робинсона — это два равнобедренных треугольника P и Q с углами (36, 72, 72) и (108, 36, 36) соответственно. Стоит упомянуть следующий замечательный факт из жизни художника.
В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Например, учебники «Математика 10», «Математика 11» автора Мордковича А. Г. оформлены с использованием литографий Эшера. В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. На картине "Верх и низ" художник разместил сразу пять точек исчезновения – по углам картины и в центре. В качестве картины, в которой исследуется и логика пространства и его топология, можно назвать литографию «Выставка гравюр».
Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными и нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) – а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах.
На самом деле все наоборот. Это узкий ромб (36, 144) и широкий ромб (72, 108), показанные отдельно на рисунке 3. Они, кажется, не подозревают, что математически я совершенно безграмотен».
Я люблю читать книги Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная арифметика», «Живой учебник геометрии», «Занимательная алгебра», а также журнал «Квант». Не случайно первыми поклонниками искусства Эшера стали математики. Далее основа фигуры (шестиугольник) удаляется. Однако все основные признаки квазипериодического замощения видны с первого взгляда.
С 1941 года Эшер постоянно живет в Голландии. Треугольник потребует несколько иного подхода. Многие из его гравюр основаны на парадоксах иллюзиях или неоднозначности. Художник провел много времени, зарисовывая арабские мозаики и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Выяснилось, что некоторые «невозможные» объекты вполне могут существовать на самом деле. Применив способ, описанный выше, он получал готовое к печати изображение.
Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация».
